Наукова та педагогічна діяльності Ю.О. Митропольського завжди гармонійно доповнювали одна одну. Основні результати, отримані у галузі розвитку методу інтегральних багатовидів в нелінійній механіці, неодноразово були темами спеціальних курсів, які він читав на механіко-математичному факультеті Київського університету, дипломних і курсових робіт студентів. Він багато сил і часу віддавав своїм учням, в яких цінував працьовитість, ретельність, акуратність, чесність, помічав здібних молодих людей і залучав їх до науки. Під керівництвом свого вчителя М.М. Боголюбова, у співпраці з ним, сформувалися основні навички науково-дослідницької роботи Юрія Олексійовича. Праці Ю.О. Митропольського характеризуються теоретичною глибиною, всебічним дослідженням проблеми, практичною цінністю.
Напрямки досліджень наукової школи Ю.О. Митропольського — нелінійна механіка, зокрема розвиток методу дослідження одночастотних процесів у коливальних системах; створення та математичне обґрунтування алгоритмів побудови асимптотичних розкладів нелінійних диференціальних рівнянь, що описують нестаціонарні коливальні процеси; дослідження систем нелінійних диференціальних рівнянь, що описують коливальні процеси в гіроскопічних системах і сильно нелінійних системах; розвиток теорії інтегральних багатовидів; розробка методу усереднення для рівнянь з повільно змінними параметрами, рівнянь з недиференційованими і розривними параметрами; розвиток методу прискореної збіжності в задачах нелінійної механіки.
Наукова школа Ю.О. Митропольського сформувалася в 1950—1960-ті рр. у Києві. Її ядро складають академіки НАН України А.М. Самойленко — директор Інституту математики НАН України, О.М. Шарковський — завідувач відділу Інституту математики НАН України, А.А. Мартинюк — завідувач відділу Інституту механіки НАН України, доктори наук В.О. Гробов, В.П. Рубаник, П.М. Сеник, А.Ф. Шестопал, В.І. Фодчук, К.Я. Кухта, О.Б. Ликова, Г.П. Хома, О.К. Лопатін, Т.Г. Стрижак, Б.П. Ткач, В.Г. Самойленко, А.А. Березовський, а також Ф.У. Носиров, Е.Ф. Файзибаев (Узбекистан), Степанович-Хедрик Катица (Сербія), Нгуєн Донг Ань, Нгуєн Тієн Кхієм (В’єтнам) та ін. Його дочірня школа (А.М. Самойленка) — з теорії багаточастотних коливань та теорії імпульсних систем.
Наукова та педагогічна діяльності Ю.О. Митропольського завжди гармонійно доповнювали одна одну. Основні результати, отримані у галузі розвитку методу інтегральних багатовидів в нелінійній механіці, неодноразово були темами спеціальних курсів, які він читав на механіко-математичному факультеті Київського університету, дипломних і курсових робіт студентів. Він багато сил і часу віддавав своїм учням, в яких цінував працьовитість, ретельність, акуратність, чесність, помічав здібних молодих людей і залучав їх до науки. Під керівництвом свого вчителя М.М. Боголюбова, у співпраці з ним, сформувалися основні навички науково-дослідницької роботи Юрія Олексійовича. Праці Ю.О. Митропольського характеризуються теоретичною глибиною, всебічним дослідженням проблеми, практичною цінністю.
Напрямки досліджень наукової школи Ю.О. Митропольського — нелінійна механіка, зокрема розвиток методу дослідження одночастотних процесів у коливальних системах; створення та математичне обґрунтування алгоритмів побудови асимптотичних розкладів нелінійних диференціальних рівнянь, що описують нестаціонарні коливальні процеси; дослідження систем нелінійних диференціальних рівнянь, що описують коливальні процеси в гіроскопічних системах і сильно нелінійних системах; розвиток теорії інтегральних багатовидів; розробка методу усереднення для рівнянь з повільно змінними параметрами, рівнянь з недиференційованими і розривними параметрами; розвиток методу прискореної збіжності в задачах нелінійної механіки.
Наукова школа Ю.О. Митропольського сформувалася в 1950—1960-ті рр. у Києві. Її ядро складають академіки НАН України А.М. Самойленко — директор Інституту математики НАН України, О.М. Шарковський — завідувач відділу Інституту математики НАН України, А.А. Мартинюк — завідувач відділу Інституту механіки НАН України, доктори наук В.О. Гробов, В.П. Рубаник, П.М. Сеник, А.Ф. Шестопал, В.І. Фодчук, К.Я. Кухта, О.Б. Ликова, Г.П. Хома, О.К. Лопатін, Т.Г. Стрижак, Б.П. Ткач, В.Г. Самойленко, А.А. Березовський, а також Ф.У. Носиров, Е.Ф. Файзибаев (Узбекистан), Степанович-Хедрик Катица (Сербія), Нгуєн Донг Ань, Нгуєн Тієн Кхієм (В’єтнам) та ін. Його дочірня школа (А.М. Самойленка) — з теорії багаточастотних коливань та теорії імпульсних систем.